Предположим, что переменные у и z имеют двумерное распределение с коэффициентом корреляции r. Найдем распределение у по случайной выборке (у, z) условии, что уровень переменной z превышает определенное значение (z>b). Интуиция подсказывает, что если у и z положительно коррелированы, то усечение z должно подвинуть распределение у вправо.
Нахождение распределения у связано с определением, во-первых, вида функции плотности случайно усеченного распределения переменных у и z, и, во-вторых, математического ожидания и дисперсии случайно усеченной переменной у при условии, что у и z подчинены закону двумерного нормального распределения.
Усеченная совместная плотность у и z согласно выражению (10.136) при любом распределении этих переменных определяется следующим выражением:
Если у и z распределены согласно двумерному нормальному закону с математическими ожиданиями my и mz и стандартными отклонениями s y и s z, а коэффициент их парной корреляции равен r, то в соответствии с выражениями (10.142)–(10.143) условные математическое ожидание и дисперсия у при усечении z определяются следующим образом:
M=my+r×s y ×l(b z); (10.169)
D=sy2×, (10.170)
где
b z =(b–my)/s z; (10.171)
l(b z)=f(b z)/; (10.172)
d(b z)=l(b z)×. (10.173)
Заметим, что при усечении сверху, т. е. z<b, математическое ожидание и дисперсия переменной у также определяется согласно выражениям (10.169) и (10.170) при l(b z)=–f(b z)/ F(b z).
Из выражения (10.169) следует, что при усечении “снизу” условное математическое ожидание у смещается в направлении корреляции переменных у и z, если усечение проводится “сверху”, то – в направлении противоположном корреляции. Случайное усечение уменьшает дисперсию, т. к. d(b z) и r2 принадлежат интервалу (0,1).
Рассмотрим два примера, иллюстрирующих случайное усечение.
Предположим, что любая женщина выходит на работу только в том случае, если ее потенциальный доход будет превышать некоторый критический уровень (для каждой женщины свой). Допустим, переменная zt представляет собой разность между потенциальным и критическим доходом, и зависимость между переменной zt и влияющими на нее факторами xt1 можно представить следующим образом:
zt=a¢×xt (1)+et(1), (10.174)
где xt(1) – вектор независимых факторов, влияющих на разность доходов (например, возраст, образование, количество детей и т. д.); a – вектор параметров модели; et(1) – ошибка модели.
Для всех женщин, у которых zt>0, требуется определить желательное количество рабочих часов yt. Предположим, что зависимость между переменной yt и влияющими на нее факторами хt(2) также можно описать линейной эконометрической моделью:
yt=b¢×xt(2)+et(2), (10.175)
где xt(2) – вектор независимых факторов, влияющих на желательное количество рабочих часов (например, семейный статус, количество детей и т. д.); b – вектор параметров модели; et(2) – ошибка модели.
Заметим, что вектора xt(1) и xt(2) могут как совпадать, так и отличаться друг от друга.
При формировании модели (10.175) возникает проблема усечения, поскольку данные о часах работы имеются только для работающих женщин, т. е. число часов – случайно усеченная переменная.
В разделе 10.3.1 рассматривалась модель миграции, в которой переменные, влияющие на принятие решения о смене места жительства, были представлены эконометрическими моделями в зависимости от набора соответствующих факторов. В целом модель содержала три уравнения:
чистая прибыль от переезда – Nt*=g¢×wt +ut; (10.176)
доходы при переезде – ytp =a¢×xtp +etp; (10.177)
доходы при “непереезде” – ytm =b¢×xtm +etm. (10.178)
где wt, xtp и xtm – вектора независимых переменных, влияющих соответственно на чистую прибыль от переезда, и доходы в случае переезда и “непереезда”; g, a и b – вектора параметров; ut, etp и etm – ошибки модели.
Предположим, что совокупность мигрантов формируется из числа лиц, желающих переехать, для которых чистая прибыль от переезда положительна. Чистая прибыль от переезда zt*, определяется согласно выражению (10.176) как
zt*=g¢×wt +ut. (10.179)
Для совокупности мигрантов формируется уравнение, связывающее величину их дохода на новом месте уt с некоторым набором факторов xt, характеризующих, например, опыт работы, пол, образование и т. д:
уt=a¢×xt +et. (10.180)
где a – вектор параметров; et – вектор ошибки.
Переменная уt является случайно усеченной, так как информация о доходе мигранта может быть получена, когда переезд индивидуума на новое место жительства уже осуществился, и индивидуум приступил к работе.
Поскольку доход на новом месте и чистая прибыль от переезда взаимосвязаны, ошибки et и ut моделей (10.179) и (10.180) взаимозависимы. Предположим, что они распределены согласно двумерному нормальному закону с нулевыми математическими ожиданиями и коэффициентом корреляции r. В этом случае в соответствии с выражениями (10.169)–(10.170) получим:
M=M=M=
=a¢×xt+M=a¢×xt +r×se×lt (b u)=a¢×xt +al×lt (bu), (10.181)
где bu =–g¢×wt /su и l t(bu)=f(g¢×wt /su)/F(g¢×wt /su).
Выражение (10.181) показывает, что условное математическое ожидание выборочной совокупности доходов мигрантов при условии zt>0 находится в непосредственной и опосредованной зависимости от факторов xt. Непосредственная зависимость выражается слагаемым a¢×xt, а опосредованная, характеризующая влияние факторов xt на вероятность того, что переменная zt* положительна, определяется слагаемым r×se×lt(bu).
На практике значение переменной zt* не наблюдается, она является латентной. Наблюдаемая переменная z принимает значение 1 (событие произошло) или 0 – в противном случае. В наших примерах: женщина работает или нет, индивидуум мигрирует или нет. С учетом этого представим модель (10.179)–(10.180) в виде совокупности двух следующих моделей:
1. Модели селекции, определяющие выборку мигрантов
zt*=g¢×wt+ut; (10.182)
zt=1, если zt*>0; (10.183)
zt=0, если zt*<0; (10.184)
P(zt =1)=F(g¢×wt ); (10.185)
P(zt =0)=1–F(g¢×wt ). (10.186)
2. Модели дохода мигранта
yt =a¢×xt +et. (10.187)
yt представляет собой значение дохода индивидуума, фактически сменившего место жительства случайную выборку мигрантов, лиц фактически сменивших место жительства, для которого zt =1.
В соответствии с введенным предположнием о зависимости между ошибками et и ut моделей (10.179) и (10.180) закон их совместного распределения характеризуется характеризуется следующими свойствами:
(ut, et)~N(0,0,1, se, r). (10.188)
Согласно выражению (10.169) условное математическое ожидание yt при zt=1 определяется согласно выражению:
M=a¢×xt+r×se×l(g¢×wt ). (10.189)
Поможем написать любую работу на аналогичную тему