Заметим, что ковариация случайных величин At, At+1 может быть определена на основе следующего выражения:
где Ati, At+1j – i-е и j-е состояние переменной A в моменты t и t+1 соответственно; M=M=ps – математические ожидания переменных At и At+1, согласно распределению Бернулли равные вероятности ps; р(Ati) и р(At+1j) – вероятности i-го и j-го состояния переменных At и At+1 соответственно.
В нашем случае переменные At и At+1 принимают только два значения 0 или 1 в зависимости от комбинаций соответствующих значений определяющих их переменных It, It+1 и It+2 (см. выражения (7.27) и (7.28)). Перечислим эти комбинации:
(At =1ÇAt+1=1)Þ000È111(комбинации значений It, It+1 ,It+2);
(At =0ÇAt+1=0)Þ101È010;
(At =0ÇAt+1=1)Þ011È100;
(At =1ÇAt+1=0)Þ001È110.
На основании комбинаций It, It+1, It+2 несложно определить вероятности соответствующих пар значений случайных величин At и At+1:
р(At =1ÇAt+1=1)=р(At =1)× р(At+1=1)=рI(000)+ рI(111);
р(At =0)× р(At+1=0)=рI(101)+ рI(010);
р(At =0)× р(At+1=1)=рI(011)+ рI(100);
р(At =1)× р(At+1=0)=рI(001)+ рI(110),
где рI(.) – вероятность комбинации переменных It, It+1, It+2.
На основании (7.39) имеем рI(000)=(1–p)3; рI(111)=p3; рI(101)= рI(011)=рI(110)=p2(1–p); рI(010)= рI(100)=рI(001)=p(1–p)2.
После подстановки найденных значений переменных в выражение (7.183) оно приобретает следующий вид:
После раскрытия скобок и определенных сокращений получим:
Добавим в правую часть этого выражения ps2–ps2 и приведем подобные члены. В результате получим:
Учитывая, что ps =p2+(1–p)2, имеем
откуда следует, что
а соответственно дисперсия случайной величины Ns равна (см. выражение (7.43))
Поможем написать любую работу на аналогичную тему