Предположим, что между переменными у и х1, х2,..., xn существует функциональная связь
y=f(x), (7.190)
где вектор x=(х1, х2,..., xn) является случайным с известным (нормальным) законом распределения x~N(M, Cov), и параметры M= и Cov (ковариационная матрица компонент вектора х) определены на основании временных рядов хit, i=1,2,..., n; t=1,2,... T.
Очевидно, что в этом случае переменная у также является случайной величиной. Ее закон распределения является асимптотически нормальным, а его параметры могут быть определены на основании разложения функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки M. Ограничиваясь первым порядком разложения Тейлора, получим:
где – значение функции f(x) в точке и – значение производной в этой точке.
В силу того, что , получим:
Дисперсию переменной у определим следующим образом:
Из выражения (7.193) вытекает, что в точке дисперсия переменной у может быть определена в предположении о независимости производных и приростов на основании следующего выражения:
где – математическое ожидание производной в точке ; Cov()– ковариационная матрица компонент вектора .
В том случае, когда компоненты вектора независимы между собой, выражение (7.194) приобретает следующий вид:
Используем выражения (7.194) и (7.195) для оценок параметров распределений некоторых комплексных (сложных) переменных, рассмотренных в разделе 7.3.
Дисперсия случайной величины SR, представляющая собой отношение (выражение (7.31)) на основании выражения (7.195) оценивается следующим образом:
где определена выражением (7.185), fºSR.
Поскольку
то, подставляя правые части выражений (7.185) и (7.197) в выражение (7.196), получим:
Выражение (7.198) в точности соответствует выражению (7.45).
На основании выражения (7.194) определим также параметры отношения двух дисперсий s12 и s22, которое представляет собой отношение VR(2)=s22/s12 (см. выражения (7.56)–(7.58)).
Из выражений (7.56), (7.57) и (7.192) непосредственно следует, что
Дисперсию этого отношения найдем как дисперсию функции
Такое преобразование целесообразно, поскольку случайные величины, стоящие в числители выражения (7.200) и его знаменателе, являются независимыми между собой. Это следует из того факта, что эффективная оценка q1 параметра q асимптотически некоррелирована с разностью q2–q1, где q2 – другая оценка этого параметра. Этот результат вытекает из следующего рассуждения. Если условие независимости q1 и разности q2–q1 не выполняется, то можно найти линейную комбинацию оценок q1 и q2–q1, которая будет более эффективной оценкой параметра q по сравнению с q1, что противоречит исходной информации об эффективности оценки q1.
В нашем случае s12 является эффективной оценкой дисперсии sy2. Тогда для нее можно записать при Т®¥ следующее равенство:
Откуда непосредственно следует, что
Подставляя в выражение (7.201) оценки D(s12) и D(s22) (см. выражения (7.189),(7.57) и (7.58)), получим:
Далее, дисперсию функции f(y), определенную выражением (7.200) с учетом независимости его числителя и знаменателя согласно формуле (7.195) представим в следующем виде:
С учетом того, что а в силу равенства нулю математического ожидания числителя выражения (7.200), и, принимая во внимание результат (7.202), получим
Поможем написать любую работу на аналогичную тему
Реферат
Оценка параметров распределений функциональных зависимостей случайных величин
От 250 руб
Контрольная работа
Оценка параметров распределений функциональных зависимостей случайных величин
От 250 руб
Курсовая работа
Оценка параметров распределений функциональных зависимостей случайных величин
От 700 руб