Оценки параметров системы взаимозависимых  эконометрических моделей с использованием  трехшагового МНК

Как было отмечено в предыдущем разделе, наличие корреляционных связей между ошибками различных эконометрических моделей, входящих во взаимозависимую систему, ведет к потере свойства эффективности оценок их коэффициентов. В такой ситуации теория рекомендует для получения этих оценок вместо двухшагового использовать трехшаговый МНК, который включает в себя дополнительный этап, связанный с применением обобщенного МНК при известной ковариационной матрице ошибок различных моделей. В результате трехшаговый МНК применяется как метод оценивания коэффициентов структурной формы всей системы моделей, а не отдельных ее уравнений.

Дадим достаточно схематичное изложение трехшагового МНК в общем виде.

Представим i-е структурное уравнение системы в виде, аналогичном (8.50), i=1,2,..., т:

уi=Yi×ai+Xi×bi +ei=Zi×di+ei,                          (8.70)

где, как и в разделе 8.4, Zi= –  матрица, сформированная на основе исходных значений эндогенных и экзогенных переменных  i-й модели;  di=¢– вектор параметров i-й модели; ei    – вектор ошибки i-й модели.

Умножим левую и правую части выражения (8.70) слева на транспонированную матрицу значений всех экзогенных переменных X¢. В результате получим модель следующего вида:

X¢×уi = X¢×Zi×di+X¢×ei .                         (8.71)

В выражении (8.71) вектор X¢×уi  рассматривается как вектор значений новой зависимой переменной, матрица X¢×Zi   – как матрица значений новых независимых факторов, а вектор X¢×ei  – как вектор значений новой ошибки. При этом ковариационная матрица этой ошибки определяется согласно следующему выражению:

Cov(xi )= M=M=sii2 ×X¢×X,           (8.72)

где sii2   – постоянная дисперсия ошибки i-го уравнения системы.

Поскольку sii2×X¢×X¹sii2×Е, т. е. ковариационная матрица ошибки имеет вид отличный от единичной матрицы, умноженной на постоянную дисперсию, то для получения эффективных оценок коэффициентов модели (8.71) необходимо использовать обобщенный МНК. Оценка di вектора коэффициентов di  в этом случае определяется согласно следующему выражению:

di =–1× Zi¢×X×(X¢×X)–1X¢×yi .            (8.73)

Заметим, что с учетом представления матрицы Zi  в виде и выражения (8.54) формула (8.73) тождественна выражению (8.58).

Применим преобразование (8.71) ко всей системе взаимозависимых уравнений, представленной в форме записи, аналогичной выражению (8.25). В результате получим следующую систему:

X¢× y1                  X¢× Z1                              0                                      d1                X¢×e1

X¢× y2     =                             X¢× Z2                                          ×      d2         +   X¢×e2     .             (8.74)

   …           . . . . . . . . . . . . . . . . .                            …           …

X¢× ym             0                      X¢× Z m                     d m          X¢×e2

Ковариационная матрица вектора ошибки системы (8.74) будет иметь следующий вид:

                 s11 ×X¢×X     s12 ×X¢×X   ...   s1m ×X¢×X

Cov(x) =  s21 ×X¢×X     s22 ×X¢×X   ...   s2m ×X¢×X                          (8.75)

                   ......................................................

                 sm1 ×X¢×X     sm 2 ×X¢×X   ...  smm ×X¢×X            ,

где символом sij   обозначена ковариация ошибок i-го и j-го уравнений системы. Иными словами,

sij  = Cov(xi ,x j  )= M =  

Если из значений sij   сформировать матрицу S размера т´т, то выражение (8.75) можно представить как кронеккерово произведение матриц S  и X¢×X.

Cov(xi )= S Ä X¢×X = W,                          (8.77)

где Ä – символ кронеккерова произведения.

Согласно свойству кронеккерова произведения,

W–1= S–1 Ä (X¢×X)–1.                            (8.78)

С учетом (8.78) оценку вектора коэффициентов всей системы взаимозависимых эконометрических моделей получим с использованием обобщенного МНК в следующем виде:

 d1                Z1¢×X     0                   X¢×Z1    0       –1     Z1¢×X     0              X¢×y1

d= … =           …              ×  W–1×        …                     …          ×W –1 ×    …     .

 dm                    0     Zm¢×X                      0      X¢×Zm                0     Zm¢×X             X¢×ym

(8.79)

Таким образом, рассмотренная процедура оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей состоит из трех последовательных этапов, определяющих содержание трехшагового МНК.

Этап 1.

На этом этапе с использованием обычного МНК на основании приведенной формы определяются расчетные значения переменных  , рассматриваемых в качестве независимых эндогенных переменных в каждом из уравнений системы, j=1,2,..., m; j¹i, где    i – индекс уравнения системы.

Этап 2.

Как и в двухшаговом МНК, на этом этапе с использованием значений  определяются оценки коэффициентов структурной формы каждого из уравнений системы. Для этой цели используется выражение (8.73). Кроме того, на этом шаге определяются вектора ошибок каждого из уравнений системы иi=(иi1,..., иiТ)¢, с использованием которых рассчитываются на основании формулы (8.76) оценки дисперсии каждого из уравнений sii2 и их взаимные ковариации sij   и в соответствии с выражением (8.75) формируется ковариационная матрица W.

Этап 3.

С помощью обобщенного МНК (выражение (8.79)) определяются “окончательные” оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей, которые теоретически при наличии корреляции между ошибками различных уравнений являются “более эффективными” по сравнению с аналогичными оценками двухшагового МНК.

Если ошибки уравнений системы не коррелируют между собой, т. е. sij=0, i¹j, то трехшаговый МНК не имеет преимуществ перед двухшаговым. При применении трехшагового МНК необходимо соблюдать некоторые дополнительные правила, что делает его процедуру менее универсальной по сравнению с двухшаговой. Они состоят в следующем:

1. Процедура выполняется только для идентифицируемых и сверхидентифицируемых уравнений системы. Тождества и неидентифицируемые уравнения в ней не участвуют.

2. Процедуру желательно выполнять для групп идентифицируемых и неидентифицируемых уравнений раздельно. При этом, если в соответствующую группу входит только одно сверхидентифицируемое уравнение, то трехшаговая процедура для него превращается в двухшаговую.

Наряду с рассмотренными в данном разделе методами существуют и некоторые другие, позволяющие получить «приемлемые по качеству» оценки коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей. Так, например, эти оценки для отдельных моделей можно найти с помощью метода наименьшего дисперсионного отношения, в свою очередь, базирующегося на методе максимального правдоподобия с ограниченной информацией, использующего, кроме обычных предположений о нормальности распределения и независимости ошибок структурного уравнения, также дополнительное предположение о ранге матрицы значений независимых переменных приведенной формы. Оценить коэффициенты структурной формы всей системы эконометрических моделей можно и на основе метода максимального правдоподобия с полной информацией.

Однако перечисленные методы гораздо более трудоемки по сравнению с двухшаговым и трехшаговым МНК , и, что самое главное, они не дают никаких преимуществ перед последними с точки зрения качества полученных оценок. Вследствие этого, в большинстве эконометрических исследований, проводимых на основе систем взаимозависимых уравнений, для оценки их коэффициентов рекомендуется использовать именно двухшаговый и трехшаговый МНК.