Какова роль остатков?

Рассмотрим уравнение регрессии вида

Для каждого момента времени  значение компоненты  определяется как  или .

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки  должны быть случайными. Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклические колебания. Это говорит о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предыдущих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим

Фактором является фактор времени . Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель. Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно в виду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерия Дарбина-Уотсона и расчет величины  - отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как

, где ,

Так как  - остатки, полученные по уравнению регрессии, параметры которого определены обычным МНК, то в соответствии с предпосылками МНК их сумма и среднее значение равны нулю: , .

Следовательно, можно предположить, что .

Предположим также .

Тогда формула для расчета коэффициента автокорреляции остатков преобразуется следующим образом:

Формула расчета критерия Дарбина-Уотсона будет иметь вид:

Можно вывести следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка:

.

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то  и, следовательно, . Если автокорреляция остатков отсутствует, то  и . Следовательно .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза  об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы  и  состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона  и  для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели  и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток  разбивается на пять отрезков.

Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью  показании ниже.

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .