Статистическая гипотеза – определенное предположение о свойствах распределений случайных элементов, лежащих в основе наблюдаемых случайных элементов, лежащих в основе наблюдаемых случайных явлений (процессов).
Нулевая гипотеза (
) – статистическая гипотеза, подлежащая проверке по статистическим данным (результатам наблюдений, вошедшим в выборку). Из возможных статистических гипотез в качестве нулевой выбирают ту, принятие справедливости которой наиболее важно для дальнейших выводов.
Альтернативная гипотеза – статистическая гипотеза, которая считается справедливой, если нулевая гипотеза неверна.
Статистический критерий – правило, по которому на основе результатов наблюдений принимается решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы.
Статистика критерия – статистика, на основе которой сформулировано решающее правило.
-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического (
) и критического (табличного) 
значений -критерия Фишера. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, расчитаных на одну степень свободы; 
, где 
- число единиц совокупности; 
- число параметров при переменных 
.
- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости 
. Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она не верна. Обычно принимается равной 0,05 или 0,01.
Если 
, то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если 
, то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается 
-критерий Стьюдента. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью -критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки: 
; 
, 
.
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:
;
;
.
Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения 
-статистики (
и 
) принимаем или отвергаем гипотезу .
Если 
, то отклоняется, то есть 
, 
и 
не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора . Если 
, то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования , и .
5. Что представляет обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)?
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов заменять обобщенным методом.
Обобщенный метод наименьших квадратов применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии.
Как и раньше, будем предполагать, что среднее значение остаточных величин равно нулю. А вот дисперсия их остается неизменной для разных значений фактора, а пропорциональна величине 
, то есть 
.
где 
- дисперсия ошибки при конкретном i-м значении фактора;
- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;
- коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обуславливает неоднородность дисперсии.
При этом предполагается, что неизвестна, а в отношении величины 
выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.
В общем виде для уравнения 
при , модель примет вид 
.
В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-го наблюдения на 
. Тогда дисперсия остатков будет величиной постоянной, то есть 
.
Иными словами, от регрессии 
по мы перейдем к регрессии на новых переменных: 
и 
.
Уравнение регрессии примет вид:
.
Исходные данные для этого уравнения будут иметь вид:
, 
.
По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешенную регрессию, в которой переменные и взяты с весами 
. Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешенному методу наименьших квадратов, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов уравнений вида
.
Соответственно получим следующую систему нормальных уравнений:
.
Если преобразованные переменные и взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии можно определить как 
Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии. Предположим, что рассматривается модель вида
, для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна 
, - представляет собой коэффициент пропорциональности, принимающий различные значения для соответствующих 
значений факторов 
и 
. Ввиду того, что 
, рассматриваемая модель примет вид 
, где ошибки гетероскедастичны.
Для того чтобы получить уравнение, где остатки 
гомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделив все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональности . Уравнение с преобразованными переменными составит 
.
Это уравнение не содержит свободного члена. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним получим иную спецификацию модели: 
Параметр такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности . В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки пропорциональны значениям фактора. Так, если в уравнении 
предположить, что 
, то есть 
и 
, то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформированного уравнения:
.
Если предположить, что ошибки пропорциональны 
, то модель примет вид: 
.
Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с меньшими значениями преобразованных переменных 
имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему