Для перехода от квантовых распределений к классическим распределениям надо заменить суммирование 
по всем возможным микросостояниям квантовой макроскопической системы интегрированием 
в многомерном фазовом пространстве. Чтобы осуществить такой переход надо определить элементарную ячейку в фазовом пространстве.
Рассмотрим движение одной частицы в потенциальном поле. Каждое состояние в этом случае характеризуется набором трех квантовых чисел: 
. При этом каждому состоянию в трехмерном фазовом пространстве отвечает объем 
, т.к. ввиду соотношения неопределенностей 
точнее положение точки определить нельзя. Таким образом, на одну степень свободы приходится объем 
.
В квантовой теории показано, что в произвольной системе с N
степенями свободы (при рассмотрении только поступательных степеней свободы) при переходе к классическому приближению в качестве элементарной ячейки надо использовать 
.
Поэтому заменим суммирование по квантовым числам интегрированием по фазовому пространству: 
(движение атома как целого).
Штрих означает, что интегрирование проводится не по всему фазовому пространству, а лишь по тем его областям, которые соответствуют физически различимым состояниям.
В классической системе одинаковых частиц они считаются различимыми, то есть их можно перенумеровать и проследить за их траекториями. В квантовой механике показано, что частицы являются тождественными (неразличимыми), а проследить за траекториями частиц невозможно. То есть если рассмотреть возможные варианты распределения, например, трех частиц по трем ячейкам, то в классической механике состояния, отвечающие разным номерам частиц, считаются разными, а в квантовой механике все они представляют собой одно состояние.
Рис.2.1
При вычислении статистического интеграла удобно распространить интегрирование на всю область фазового пространства. При этом состояния, отличающиеся лишь перестановкой частиц (неразличимых в квантовой механике) будут учитываться N! раз. Поэтому разделим статистический интеграл на N!. Это означает, что условием перехода к классической статистической теории будет замена:
,
а статистическая сумма примет вид
.
Заметим, что это выражение безразмерно (в отличие от ранее полученного в классической статистической физике).
Тогда можно ввести безразмерную функцию распределения в классической теории
.
Условие её нормировки: 
.
Во многих случаях (например, для нахождения уравнений состояний) это различие на 
не является существенным. Однако, при расчете энтропии оно оказывается принципиальным.
Решение парадокса Гиббса.
Воспользуемся формулой Стирлинга для больших величин N:
.
При подстановке этого выражения в энтропии газов, получим, что парадокса Гиббса не возникает. То есть учет тождественности частиц в квантовой теории позволяет устранить противоречия в классических выражениях для термодинамических функций. Таким же образом можно найти и все остальные термодинамические функции.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему