Уравнение Фоккера-Планка

Теперь рассмотрим трехмерную систему БЧ и будем описывать эволюцию БЧ (или идеального газа БЧ) с помощью функций распределения f в самой грубой временной шкале t>>G-1.

Распределение по импульсам БЧ в этой шкале является в любой момент времени максвелловским. Поэтому нас будет интересовать только функция распределения по координатам , такая, что - вероятность обнаружить частицу в объеме , причем

.

Т.к. частицы стабильны (нет их источников), то функция  должна удовлетворять уравнению непрерывности

, или

Введя грубую шкалу времени (включая dt>>G-1), t>>G-1, мы фактически лишим себя возможности использовать микроскопические соображения для превращения этого соотношения в уравнение для одной функции .

Оставаясь в рамках полуфеноменологического рассмотрения, представим плотность потока  как бы складывающуюся из двух частей

.

Первая из них обусловлена внешними силами, действующими на БЧ, вторая - случайными «флуктуирующими» воздействиями на нее со стороны частиц среды. Второе слагаемое имеет характер диффузионного процесса, а D представляет собой коэффициент диффузии броуновской частицы в среде с заданными свойствами.

Скорость направленного движения частицы можно найти, используя представления гидродинамики (малые скорости, сферические частицы)

Fвнеш. = gu0,        g = 6pRh,

Поэтому упорядоченную часть плотности потока можно записать в виде

,

где U – потенциал внешнего силового поля.

Величину D можно определить экспериментально, но это сложно сделать во всех случаях жизни. В связи с этим рассмотрим предел , когда система достигнет своего состояния ТД равновесия. В таком состоянии нет потоков (все характеристики постоянны):

.

Эти уравнения можно записать в виде

, .

         Решение этой системы

мы могли бы предсказать заранее, так как идеальный газ БЧ в поле  характеризуется в равновесном случае больцмановским распределением

.

Сопоставляя эти выражения, мы получаем, что коэффициент диффузии D просто связан с T, h  и R БЧ

.

Подставляя это выражение в уравнение непрерывности, получим уравнение для

.                     (4.1)

Это и есть уравнение Фоккера-Планка (1914-1917). Дополненное условием нормировки, начальным (НУ) и граничными (ГУ) условиями, оно полностью определяет решение для искомой функции . Это решение определяет эволюцию системы на времени t>>G-1, которая имеет релаксационный характер (к распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации tполн, зависящим уже не только от индивидуальных свойств среды и БЧ, но и от начального распределения, формы и размеров сосуда и т.д.

         Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля  и бесконечной одномерной системы с условием отсутствия потоков на бесконечности и НУ, соответствующим нахождению броуновской частицы в точке :

,                                               (4.2)

         Решение уравнения (4.2), удовлетворяющее начальным и граничным условиям, выглядит следующим образом:

.

         Очевидно, что  – ввиду симметрии функции :

.

         В частности, средний квадрат смещения БЧ определяется формулой Эйнштейна

.

         Значение полученного решения для не ограничивается только рамками рассмотренного примера. Эта функция может служить основой для получения ряда распределений по другим характеристикам свободного броуновского движения и для проведения оценок.

Оценим время заполнения БЧ сосуда конечных размеров. С математической точки зрения время такой релаксации равно . Речь идет о физической оценке эффективного времени релаксации.

Рассмотрим сначала одномерную систему, в которой движение БЧ ограничено стенками, так что . Если бы , то эффективный размер облака броуновских частиц определялся бы формулой Эйнштейна

.

Если бы на расстоянии  от точки  по обе стороны стояли стенки, то внутри системы за это время  мы получили бы достаточно равномерное распределение броуновских частиц. Поэтому и полагают, что время полной релаксации в слое  имеет величину.

В двумерном случае (броуновская частица в плоской кювете радиусом ) формула Эйнштейна имеет вид:

®

.

Аналогично в трехмерном случае:

,

.

Полученная оценка груба, но универсальна, т.к. не зависит от формы сосуда.

Таким образом, эволюцию броуновских частиц можно представить как последовательность характерных ее этапов:

1) - механическая шкала времени,  – время корреляции случайного взаимодействия . Описание эволюции системы – задача теоретической механики о столкновении многих частиц. Движение полностью детерминировано.

2)  – первая грубая шкала времени, детали воздействия среды на частицу смазаны. В качестве динамических ее параметров выступают усредненные по  величины.

3) При  устанавливается максвелловское распределение по импульсам, и . Граничные условия несущественны.

 – вторая грубая шкала времени. Случайные блуждания БЧ приобретают характер диффузионного процесса. Частица в этом случае не имеет памяти (в механическом смысле) о своей скорости (распределение – максвелловское).

Такие процессы, в которых будущее системы определяется только настоящим и не зависит от ее предыстории, называются марковскими. Эволюция системы определяется уравнением Фоккера-Планка. Граничные и начальные условия существенны.