Закон Ома в дифференциальной и интегральной формах

         Ом экспериментально установил закон, согласно которому сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику, пропорциональна падению напряжения U на проводнике:

I=

Однородным называется проводник, в котором не действуют сторонние силы. В этом случае, как мы видели, напряжение U совпадает с разностью потенциалов —, поддерживаемой на концах проводника. Величина R называется электрическим сопротивлением проводника. Единицей сопротивления служит ом, равный сопротивлению такого проводника, в котором при напряжении в 1 в течет ток силой в 1 а.

         Величина сопротивления зависит от формы и размеров проводника, а также от свойств материала, из которого он сделан. Для однородного цилиндрического проводника

R=

         где l— длина проводника, S — площадь его поперечного сечения,   — зависящий от свойств материала коэффициент, называемый удельным электрическим сопротивлением вещества. Если l=1 и S= 1, то R численно равно . В СИ  измеряется в омо-метрах (ом-м)'. На практике часто характеризуют материал сопротивлением при l = 1 м и S = 1 мм2, т. е. выражают  в (ом×мм2)/м.

         Закон Ома можно записать в дифференциальной форме. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки внутри проводника элементарный цилиндрический объем  с образующими, параллельными вектору плотности тока j в данной точке. Через поперечное сечение цилиндра течет ток силой

jdS. Напряжение, приложенное к цилиндру, равно Edl где Е — напряженность поля в данном месте. Наконец, сопротивление цилиндра, согласно формуле равно . Подставим эти значения в формулу тогда

jdS=×Edt

Носители заряда в каждой точке движутся в направлении вектора Е. Поэтому направления j и Е совпадают. Таким образом, можно написать

j=

где   — величина, называемая коэффициентом электропроводности или просто проводимостью материала. Формула выражает закон Ома в дифференциальной форме.

         Для любой точки внутри проводника напряженность  результирующего поля равна сумме напряженности поля кулоновских сил и поля сторонних сил  . Подставляя в формулу, получим

Умножим скалярно обе части на вектор  , численно равный элементу  длины проводника и направленный по касательной к проводнику в ту же сторону, что и вектор плотности тока 

Так как скалярное произведение совпадающих по направлению векторов  и  , равно произведению их модулей, то это равенство можно переписать в виде

С учетом 

Интегрируя по длине проводника  от сечения 1 до некоторого сечения 2 и учитывая, что сила тока во всех сечениях проводника одинакова, получаем

Интеграл  численно равен работе, совершаемой кулоновскими силами при перенесении единичного положительного заряда с точки 1 в точку 2. В электростатике было показано, что

Таким образом,

где  и  - значение потенциала в т.1 и т.2.

Интеграл, содержащий вектор  напряженности поля, сторонних сил, представляет собой эдс  , действующей на участке 1-2

Интеграл

равен сопротивлению участка цепи 1-2.

Подставляя  окончательно получим

Последнее уравнение выражает собой закон Ома в интегральной форме для участка цепи, содержащего эдс и формулируется следующим образом: падение напряжения на участке цепи равно сумме падений электрического потенциала на этом участке и эдс всех источников электрической энергии, включённых на участке.