Нужна помощь в написании работы?

На практике вместо дисперсии истинной ошибки se2, значение которой не известно, используется ее оценка, рассчитываемая на основе фактических значений ошибки еt   согласно следующей формулы (см. (1.32), (2.19)):

Обоснованность такой замены можно подтвердить, показав, что M=se2, т. е. математическое ожидание дисперсии фактической ошибки, определенной на основании известных оценок МНК параметров эконометрической модели, равно дисперсии ее “истинной” ошибки.

Заметим, что векторы значений фактической и “истинной” ошибки связаны следующим соотношением:

 

e=уХ×a=Х×a+eХ×=

=eХ×(Х¢Х)–1×Х¢×ee=G×e,               (2.57)

где ET – единичная матрица размера Т´Т и G=ETХ×(Х¢Х)–1×Х¢ – симметрическая полуопределенная идемпотентная матрица, обладающая согласно ее определению следующим свойством*:

Внимание!
Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

 

Gk=G, k=2, 3,...                                  (2.58)

Из (2.57) следует, что расчетные значения фактической ошибки еt  линейной эконометрической модели могут быть выражены в виде линейных комбинаций неизвестных значений истинной ошибки et. В этом случае сумму квадратов значений фактической ошибки можно представить в следующем виде:

(e¢e)=e¢G¢Ge=e¢Ge.                         (2.59)

При выводе выражения (2.59) учтено, что G – симметрическая идемпотентная матрица.

Найдем математическое ожидание левой и правой частей выражения (2.59).

M= M=

tr(G),                            (2.60)

где tr(G)=– след матрицы G, представляющий собой сумму ее диагональных элементов (сумму элементов главной диагонали); =se2  – дисперсия “истинной” ошибки модели.

При выводе выражения (2.60) также учтено, что M=0, если  t¹j в силу независимости разновременных значений ошибки et.

След матрицы G может быть определен с учетом свойств этой характеристики. В связи с этим напомним, что:

а)   след арифметической суммы матриц равен сумме следов каждой из них

tr(G)= tr(ET)– tr;                            (2.61)

б) следы произведений матриц AB и BA равны между собой, естественно при условии, что оба произведения AB и BA матриц A и B существуют.

Тогда, учитывая, что матрица Х¢Х  имеет размер (п+1)´(п+1), получим

tr=tr=trEп+1,                  (2.62)

где Eп+1  – единичная матрица размера (п+1)´(п+1).

Поскольку в силу формы единичных матриц trET=Т и trEп+1= п+1, то из выражения (2.60) вытекает, что несмещенная оценка дисперсии истинной ошибки модели se2  определяется на основании следующего выражения:

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Поделись с друзьями