Оценка дисперсии истинной ошибки модели

На практике вместо дисперсии истинной ошибки se2, значение которой не известно, используется ее оценка, рассчитываемая на основе фактических значений ошибки еt   согласно следующей формулы (см. (1.32), (2.19)):

Обоснованность такой замены можно подтвердить, показав, что M=se2, т. е. математическое ожидание дисперсии фактической ошибки, определенной на основании известных оценок МНК параметров эконометрической модели, равно дисперсии ее “истинной” ошибки.

Заметим, что векторы значений фактической и “истинной” ошибки связаны следующим соотношением:

e=у –Х×a=Х×a+e–Х×=

=e–Х×(Х¢Х)–1×Х¢×e=×e=G×e,               (2.57)

где ET – единичная матрица размера Т´Т и G=ET–Х×(Х¢Х)–1×Х¢ – симметрическая полуопределенная идемпотентная матрица, обладающая согласно ее определению следующим свойством*:

Gk=G, k=2, 3,...                                  (2.58)

Из (2.57) следует, что расчетные значения фактической ошибки еt  линейной эконометрической модели могут быть выражены в виде линейных комбинаций неизвестных значений истинной ошибки et. В этом случае сумму квадратов значений фактической ошибки можно представить в следующем виде:

(e¢e)=e¢G¢Ge=e¢Ge.                         (2.59)

При выводе выражения (2.59) учтено, что G – симметрическая идемпотентная матрица.

Найдем математическое ожидание левой и правой частей выражения (2.59).

M= M=

tr(G),                            (2.60)

где tr(G)=– след матрицы G, представляющий собой сумму ее диагональных элементов (сумму элементов главной диагонали); =se2  – дисперсия “истинной” ошибки модели.

При выводе выражения (2.60) также учтено, что M=0, если  t¹j в силу независимости разновременных значений ошибки et.

След матрицы G может быть определен с учетом свойств этой характеристики. В связи с этим напомним, что:

а)   след арифметической суммы матриц равен сумме следов каждой из них

tr(G)= tr(ET)– tr;                            (2.61)

б) следы произведений матриц AB и BA равны между собой, естественно при условии, что оба произведения AB и BA матриц A и B существуют.

Тогда, учитывая, что матрица Х¢Х  имеет размер (п+1)´(п+1), получим

tr=tr=trEп+1,                  (2.62)

где Eп+1  – единичная матрица размера (п+1)´(п+1).

Поскольку в силу формы единичных матриц trET=Т и trEп+1= п+1, то из выражения (2.60) вытекает, что несмещенная оценка дисперсии истинной ошибки модели se2  определяется на основании следующего выражения: