Оценивание параметров эконометрической модели с учетом ограничений

При нахождении оценок параметров линейной эконометрической модели с использованием МНК предполагалось, что их значения не связаны никакими ограничениями. Вместе с тем, исходные предпосылки, лежащие в основе некоторых моделей, описывающих реальные социально-экономические процессы, предполагают, что значения их параметров не могут быть произвольными. Как это будет показано в следующих разделах, часто “содержательными” являются модели только с положительными значениями параметров, Такая ситуация характерна, например, для моделей, описывающих зависимость выпуска продукции от капиталовложений. При их построении предполагается, что влияние капиталовложений любого предыдущего периода на выпуск продукции в текущем периоде может быть только положительным. В этом случае при оценке параметров должны приниматься во внимание естественные ограничения типа

ai>0.                                                     (2.80)

В ряде моделей в качестве исходных допущений выдвигаются определенные соотношения между значениями параметров. Так в классическом варианте производственной функции Кобба-Дугласа (1.17) условие постоянной отдачи от факторов требует, чтобы сумма коэффициентов при них равнялась единице, т. е. a1+a2=1, при сохранении условия (2.80) для каждого из них. Ограничения в виде соотношений между значениями параметров называют линейными. В общем случае они могут быть представлены в векторно-матричной форме записи

R×a=r,                                                  (2.81)

где r – известный вектор-столбец, состоящий из k элементов, k<п+1; R – известная матрица порядка k´( п+1). Ее элементы формируются с учетом конкретного вида линейных взаимосвязей между параметрами модели.

Так, например, если в модели предполагается, что a2=a3 и a2+a3+2 a4=2, то вектор r и  матрица R имеют следующий вид:

В общем случае постановка задачи оценки коэффициентов эконометрической модели с учетом ограничений с критерием минимума суммы квадратов ошибки формулируется следующим образом: найти параметры ai, i=0, 1,..., п, минимизирующие квадратическую функцию следующего вида:

при ограничениях

где  – соответственно нижняя и верхняя границы области существования значений параметра ai.

Заметим, что в постановке (2.82)–(2.84) оценки параметров модели обычно определяются в ходе решения задачи оптимизации (минимизации) квадратической целевой функции при линейных ограничениях с использованием вычислительных процедур итеративного характера. Методы решения таких задач рассмотрены в главе  XI.

Вместе с тем, если принимается во внимание только одно ограничение, выраженное соотношением (2.84), то оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в аналитической форме. Рассмотрим процедуру получения такого решения с использованием МНК.

 Требуется определить вектор оценок параметров  модели a+e,  минимизирующий квадратическую функцию

при ограничении (2.84) с использованием исходных данных, представленных в виде вектора-столбца наблюдаемых (известных) значений зависимой переменной у и матрицы наблюдаемых значений независимых факторов Х. Здесь  означает вектор оценок параметров модели с ограничениями.

Аналитическое решение данной задачи может быть получено с использованием метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в этом случае записывается в следующем виде:

m¢

где m – вектор множителей Лагранжа, образованный k элементами (k – количество ограничений).

Условие минимума функции j по аргументу  имеет традиционный вид

m                         (2.87)

или

m.                             (2.88)

Умножив правую и левую части выражения (2.88) слева на R×(X¢X)–1, получим

m.               (2.89)

Заметим, что =a, где a – оценка МНК, полученная без учета ограничений. Принимая также во внимание, что , вектор множителей Лагранжа m определим на основе  следующего выражения:

m=.                         (2.90)

Подставив (2.90) в (2.87), получим

       (2.91)

где a, напоминаем, – вектор параметров той же модели, но рассматриваемой без ограничений.

Заметим, что в выражении (2.91) все матрицы и вектора известны, и, таким образом, вектор оценок коэффициентов модели с ограничениями  определяется непосредственно.

Определим традиционным образом вектор ошибки модели с ограничениями:

Добавив и вычтя в правой части выражения (2.92) слагаемое Xa, получим выражение, связывающее ошибки обоих вариантов моделей в следующем виде:

Из выражения (2.93) непосредственно следует, что сумма квадратов ошибки модели с ограничениями определяется следующим образом:

При выводе выражения (2.94) учтено, что X¢e=e¢X=0 в силу свойства ошибки (2.44).

Вектор ошибок оценок параметров  найдем, подставив в (2.91) вместо вектора a выражение a+e), где a  и e – векторы параметров и ошибки истинной модели. В результате получим

= a +Р×e,                       (2.95)

где Р – матрица, определенная следующим выражением:

Таким образом,

D=– a = Р×e                       (2.97)

является вектором ошибок оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на них ограничений в вида равенств (типа (2.84)).

Поскольку M=Р×M=0, то при отсутствии корреляционных взаимосвязей между переменными хit  и ошибкой et  полученные оценки  являются несмещенными, т. е.

M=a.                                  (2.98)

Их ковариационная матрица определяется следующим выражением:

Сov()=M=M=

=s2Р×Р¢.                              (2.99)

С учетом вида матрицы  Р (см. (2.96)) также несложно доказать справедливость следующего равенства* :

Р×Р¢=Р.                           (2.100)

В результате ковариационная матрица оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на нее ограничений в виде равенств () определяется следующим выражением:

Сov()=s2 Р.                             (2.101)

В практических исследованиях, как и ранее, дисперсия “идеальной” модели  заменяется ее оценкой  рассчитанной с использованием фактических значений ошибки согласно известной формуле

На основании выражения (2.94) несложно оценить также “потери” в точности аппроксимации известных значений зависимой переменной уt, t=1,2,...,T; при использовании эконометрической модели с ограничениями на параметры вместо модели без таких ограничений. Подставляя в (2.94) вместо разности оценок – a  ее выражение из формулы (2.91),  после очевидных упрощений получим

Левая часть выражения (2.102) представляет собой разницу между суммами квадратов ошибок моделей с ограничениями на параметры и без ограничений.