Эконометрические модели с переключениями

Эконометрические модели линейного типа с переключениями, т. е. со скачкообразными изменениями коэффициентов в точках t1, t2,... tп–1 временного интервала (1, Т) в зависимости от их модификаций называют также линейными, сплайн-моделями или кусочно-линейной регрессией. Они обычно используются для аппроксимации на отдельных временных интервалах сложных нелинейных зависимостей линейными уравнениями, построенными как эконометрические модели независимо друг от друга на каждом из участков (сегментов) рассматриваемого временного интервала  (1, Т) (tj–1, tj), j=1,2,...,  n, t0=1, tп–=Т.

Заметим при этом, что для этих же целей могут быть использованы также эконометрические модели с переключениями полиномиального вида.

Основное различие между линейной сплайн-моделью и кусочно-линейной регрессией состоит в разных способах использования точек пересечения интервалов tj, j=1,2,...,  n–1. При построении сплайн-модели предполагается, что в этих точках модели двух соседних периодов как бы пересекаются. Такие точки называют в этом случае узлами. В кусочно-линейных моделях такое пересечение моделей не предполагается. В результате расчетные значения  и , определенные в точке tj   на основании моделей j–1-го интервала и j-го интервала соответственно могут не совпасть. Иными словами, в момент tj наблюдается скачкообразное изменение значения  (см. рис. 9.2).

Заметим, что в этом случае граничные точки tj, j=1,2,...,      r–1 могут принадлежать и только одному из сегментов, например, предыдущему, т. е. соседние сегменты могут и не иметь общих точек.

При построении и сплайн-модели и кусочно-линейной регрессии обычно используют одно из двух основных предположений относительно момента скачка параметров. Во-первых, его можно привязать к изменениям значения какой-либо из управляющих переменных zt, полагая, например, что при zt£z* работает вариант модели с одними значениями параметров, а при zt³z*  – с другими.

уt                                              уt

                                     t                                            t

          tj                    tj+1                                       tj            tj+1

                         а)                                             б)

Рис. 9.2. Типы скачкообразного сдвига параметров линейной

эконометрической модели: а) сплайн-модель; б) кусочно-линейная модель.

При этом иногда даже не требуется, чтобы эта управляющая переменная входила в состав объясняющих факторов модели, т. е. она рассматривается как внешняя переменная, объясняющая режим работы системы (развития процесса), описываемой такого типа моделью. При таком предположении обычно возникает проблема не только поиска подходящей переменной, объясняющей скачки параметров модели, но и определения ее “критических” уровней, соответствующих этим скачкам. В некоторых эконометрических исследованиях в качестве такой переменной могут быть использованы процент банковского кредита, уровень налога, размер таможенной пошлины и другие редко меняющиеся экономические параметры, определяющие “режим” хозяйственной деятельности.

Согласно второму предположению скачок в параметрах модели привязывают непосредственно к моменту времени tj. Здесь имеется в виду, что даже если режим развития исследуемого процесса зависит от какой-либо из объясняющих переменных, то и ее изменения привязаны ко времени и временной фактор, таким образом, может выступать в качестве косвенной объясняющей переменной.

Далее, без ограничения общности будем рассматривать время t    в качестве такой переменной, объясняющей скачкообразное изменение параметров эконометрической модели в отдельных точках (1, Т).

Таким образом, кусочно-линейную регрессию на интервале (1, Т) можно представить в виде следующей системы линейных эконометрических моделей:

где ai(j) – коэффициенты линейной эконометрической модели, “работающей” на j-м сегменте; et(j) – ошибка модели j-го сегмента; уt(j), хit (j) – исходные значения зависимой и независимой переменной, соответственно, в j-м временном сегменте; j=1, 2,..., r; i=0, 1,...,n.

Заметим, что модель типа (9.32) включает в себя также и случай, когда некоторые из объясняющих переменных на каких-либо сегментах отсутствуют. Предположим, что на j-м сегменте переменная хi   отсутствует. Тогда при формировании исходных данных вектор-столбец ее значений хi(j) должен быть приравнен к нулю.

Если точки t1, t2,..., tr–1 известны*, то построение моделей (9.32) не представляет особых сложностей. В зависимости от их особенностей (типа) для оценки их коэффициентов могут быть использованы рассмотренные в предыдущих разделах методы (обычно МНК).

В тех ситуациях, когда сами точки скачков параметров не известны, но известно их количество r, при построении модели кусочно-линейной регрессии (9.32) можно использовать специальные методы оценки ее коэффициентов ai(j), j=1, 2,..., r; i=0, 1,..., n, позволяющие одновременно фиксировать и оптимальные местонахождения скачков, соответствующие значениям времени tj. Эти методы достаточно сложны и относятся к классу методов оптимального программирования.

Одним из наиболее эффективных среди этих методов является метод динамического программирования, который в сочетании, например, с МНК позволяет найти оптимальное разбиение исходного временного интервала (1,Т) на оптимальное число сегментов и оценить на каждом из них коэффициенты линейной эконометрической модели, “наилучшим образом” описывающей рассматриваемый процесс уt   в зависимости от значений независимых факторов хit.

Задача построения системы уравнений (9.32) в этом случае может быть сформулирована следующим образом. При заданном общем виде линейной эконометрической модели (1.2) на интервале (1,Т) найти последовательность точек t1,..., tr–1 и оценить на временных периодах (сегментах) между ними специфические для каждого из них значения ее коэффициентов.

Одним из “наиболее подходящих” для метода динамического программирования критериев решения такой задачи является минимум общей для интервала (1,Т) суммы квадратов ошибок всех моделей из системы (9.32), которая может быть определена согласно следующему выражению:

где – сумма квадратов ошибки модели j-го интервала, j=1, 2,..., r.

Метод динамического программирования последовательно рассматривает дерево всевозможных решений, отбрасывая при этом заведомо бесперспективные варианты и сужая тем самым области месторасположения оптимальных точек скачка tj, j=1, 2,..., r. Этот метод обычно используется при аддитивных целевых функциях (в нашем случае (9.32)). Другой его важной особенностью является отсутствие “последействия”. Для нашего случая это означает, что оптимальное решение на j-м интервале ( т. е. месторасположение точки tj), не зависит от месторасположений предшествующих точек t1, t2,..., tj–1, при которых оно определяется.

Решение задачи динамического программирования обычно базируется на принципе относительности Р. Беллмана. Применительно к нашей задаче он формулируется следующим образом. Пусть определено т  первых сегментов из общего их количества r, т<r. Тогда для получения оптимального (минимального) значения критерия (9.33) необходимо, чтобы и разбиение оставшейся части временного интервала на сегменты было оптимальным.

Из принципа Р. Беллмана вытекает основное функциональное соотношение для данной задачи:

где  – сумма квадратов ошибки оптимального разбиения на т сегментов на интервале (1, tm);  – сумма квадратов ошибки при вариантах разбиения на оставшиеся r–т сегментов  интервала (tm, T).

Соотношение (9.34) по существу позволяет сократить количество переборов разбиений исходного интервала (1, Т) на заданное число сегментов r, отбрасывая заведомо неверные решения.

Заметим, что при решении этой задачи для определения s2 обычно используется МНК. В результате при выборе точек должно учитываться очевидное ограничение на количество точек в каждом из сегментов. Формально оно имеет следующий вид: Тj>п+1, где   Тj – количество точек в j-м сегменте, а п+1 – количество параметров модели. На практике это ограничение может быть усилено: Тj>k×(п+1), где k>1 – некоторый множитель, регламентирующий соотношение между объемом выборки и числом параметров модели на j-м сегменте.

Система линейных сплайн-моделей также может быть определена общим выражением (9.32). Однако, при построении каждого из ее уравнений (определении коэффициентов) должно быть учтено ограничение, вытекающее из природы сплайнов. Это ограничение требует, чтобы расчетные значения  , определенные с помощью уравнения сплайна на j–1-м сегменте, совпадали со значениями, определенными на основе уравнения сплайна j-го сегмента. Формально это ограничение (систему ограничений для всех соседних пар сегментов) можно представить в следующем виде:

При ограничениях типа (9.35) процедура построения эконометрических моделей со скачками параметров значительно усложняется. При известном расположении точек скачка на временном интервале (1, Т) оценки их коэффициентов могут быть получены, например, в ходе решения задачи минимизации целевой функции типа (9.33): при r–1-м ограничении на приросты параметров моделей следующего вида:

(Da(j) ,)=0,                                 (9.36)

                                                            j=1, 2,..., r–1.

 где Da(j)=(a0 (j)–a0 (j–1),a1(j)–a1(j–1),..., aп(j)–aп (j–1)) – вектор-строка ненулевых приростов параметров модели при переходе от j–1-го сегменту к j-му; =(1, )¢ – вектор значений независимых факторов в точке tj интервала (1,Т).

Для решения подобной задачи обычно используются методы оптимизации квадратичной целевой функции при ограничениях на параметры, задаваемые в виде равенств.