Свойства фактической ошибки эконометрической модели

В данном разделе рассматриваются некоторые подходы к проверке наличия стандартных свойств (2.20)–(2.23) у “истинной” ошибки эконометрической модели et  на основе анализа соответствующих свойств фактической ошибки еt.

В этой связи сразу следует отметить, что наличие у ошибки еt  каждого из этих свойств не всегда является доказательством присутствия соответствующего свойства и у ошибки et. Иными словами, наличие определенных свойств у ошибки еt  не является необходимым условием существования этих свойств и у истинной ошибки et. Дело в том, что некоторые свойства фактической ошибки еt  являются своего рода ограничениями на ее значения, которые вытекают из критерия МНК как метода оценки параметров модели, т. е. выполняются практически всегда. В то же время   свойства “истинной” ошибки определены теоретическими предпосылками, положенными в основу этой модели. Поэтому вывод о правомочности использования МНК на основе существования таких “априорных” свойств фактической ошибки модели не может считаться обоснованным.

Вместе с тем, если фактическая ошибка et  не обладает некоторым  свойством, то можно говорить о том, что теоретические предпосылки эконометрической модели не подтверждены полученными эмпирическими данными и “качество” ее уравнения не достаточно высоко.

 В этой связи отметим, что к “априорным” свойствам фактической ошибки еt, которые выполняются при использовании МНК всегда, относятся свойства (2.20) и (2.23). Приведем доказательства этого утверждения.

1.   Сумма значений фактической ошибки равна нулю

Условие (2.43) является аналогом свойства (2.20), поскольку  рассматривается как оценка математического ожидания фактической ошибки.

Использование МНК обеспечивает выполнение условия (2.43) автоматически. В самом деле, дифференцируя сумму квадратов ошибки еt   s2  (см. выражение (2.31)) по параметру a0 , получим

Из этого выражения автоматически вытекает, что

2.   Произведение транспонированной матрицы Х¢ на вектор фактической   ошибки е равно нулевому вектору.

Х¢е=0.                                      (2.44)

Условие (2.44) является аналогом условия (2.23), поскольку произведение каждой строки матрицы Х¢  на вектор e представляет собой скалярное произведение вектора значений соответствующих факторов хit   на вектор ошибки.

Тогда векторно-матричное выражение (2.44) можно представить в виде следующей системы скалярных произведений:

где х0t º1 для t=1, 2,..., Т.

Для доказательства справедливости выражения (2.44) представим вектор ошибки е в виде разности фактических и расчетных значений независимой переменной yt

е=у –=у–Х×a.

Получим

Х¢×e=Х¢×(у–Х×a)=Х¢×у–Х¢×Х×a=(Х¢×Х)–1×Х¢×у–(Х¢×Х)–1 ×(Х¢×Х)×a=0.

Из (2.44) и (2.45) автоматически следует, что

Еще раз отметим, что выполнение условий (2.45) и (2.46) не может считаться доказательством отсутствия корреляционных взаимосвязей между значениями независимых переменных хit  и “истинной” ошибкой et. В данном случае эти условия сами являются следствием результатов применения МНК для оценки коэффициентов эконометрической модели, т. е. они как бы выполняются автоматически. Для некоторых классов эконометрических моделей, как это будет показано в главах V и VIII, уже априорно, т. е. до построения модели, можно доказать существование ковариационной связи между некоторыми независимыми переменными и истинной ошибкой модели et. Выполнение условия (2.45) в таком случае не является свидетельством корректности применения “классического” МНК для оценки ее параметров.

3.   Из условий (2.43) и (2.45) также вытекает, что сумма произведений отклонений расчетных значений независимых переменных от ее среднего значения и расчетных значений ошибки равна нулю.

Раскрывая скобки в выражении (2.47), непосредственно получим

Выражение (2.47) включает в себя также и следующее условие:

означающее, что сумма произведений расчетных значений зависимой переменной и ошибки еt   равна нулю.

Здесь еще раз подчеркнем, что условия (2.43)–(2.48) для фактической ошибки еt  эконометрической модели автоматически вытекают из метода оценки ее параметров – МНК, и поэтому их непосредственно нельзя переносить на условия (2.20)–(2.23), характеризующие свойства истинной ошибки e t.

Вместе с тем, условия (2.21) и (2.22) для фактической ошибки еt   не являются “априорными”. Они выполняются лишь в том случае, если исходные предпосылки МНК оказались справедливыми для данной модели, что является свидетельством обоснованного выбора формы ее уравнения, состава учтенных факторов и т. п.