Модель АР(1).

В соответствии с выражением (12.34) представим модель АР(1) в виде следующего уравнения:

которое для наших целей более удобно представить в следующем виде:

Из выражения (12.48) вытекает, что прогноз на один шаг вперед, т. е. на момент Т+1, является случайной величиной, определяемой следующим выражением:

Математическое ожидание этого прогноза имеет следующий вид:

Ошибка такого прогноза определяется как

При определении дисперсии прогноза различие между параметром a1 и его оценкой a1 во внимание не принимается. В результате имеем

Для момента Т+2 прогноз определяется по следующей схеме:

Из выражения (12.53) следует, что математическое ожидание этого прогноза имеет следующий вид:

а ошибка D уT(2) равна

В свою очередь, с учетом независимости eT+2 и eT+1 из выражения (12.54) следует, что дисперсия прогноза на момент Т+2 оценивается согласно следующему выражению:

Продолжая схему прогнозирования, определенную выражениями (12.48)-(12.55) несложно видеть, что прогноз на l шагов вперед на основе модели АР(1) представляется в следующем виде:

Его математическое ожидание определяется выражением

а ошибка и ее дисперсия – соответственно выражениями

Из выражений (12.57), в частности, вытекает, что так как ça1ç<1, то c ростом l математическое ожидание прогноза стремится к математическому ожиданию стационарного процесса

а дисперсия прогноза стремится к дисперсии процесса

поскольку из выражения (12.59) следует, что