Модель АРСС(1,1).

Модель АРСС(1,1), являющуюся комбинацией рассмотренных выше моделей АР(1) и СС(1), представим в следующем виде:

Несложно заметить, что прогнозное значение переменной уT+1  определяется следующим выражением:

Математическое ожидание такого прогноза с учетом равенства нулю математического ожидания ошибки eT+1 и известного значения ошибки   равно

Прогнозируя на момент Т+2, получим следующие выражения, определяющие прогнозное значение рассматриваемой переменной и его математическое ожидание соответственно:

Из выражений (12.72) и (12.73) вытекает, что оценка дисперсии прогноза на два шага вперед с использованием модели АРСС(1,1) может быть представлена в следующем виде:

Продолжая последовательно процедуру прогнозирования  на момент Т+l, получим следующие выражения прогнозного значения случайной величины и ее математического ожидания:

Соответственно из выражений (12.75) и (12.76) вытекает, что оценка дисперсии этой ошибки (дисперсии прогноза) может быть определена следующим образом:

Несложно показать, что l®¥ оценка дисперсии прогноза уT+l стремится к следующему пределу:

По аналогичной схеме в предположении о детерминированном характере показателей моделей могут быть получены выражения, определяющие оценки дисперсий прогнозов моделей временных рядов и других модификаций, включая модели финансовой эконометрики.

* Пусть каждая из последовательностей {xiT} сходится по вероятности к константе: plimT®¥ xiT =ci, i=1,...,п, и пусть функция g непрерывна в точке (c1,..., cп). Тогда plimT®¥ g(x1T,..., xпT) =g(c1,..., cп).

* Функция F–1(Nt) в окрестности точки pt  может быть аппроксимирована с помощью ряда Тейлора:

F–1(Nt)= F–1(pt +et)»F–1(pt )+× et,

но F–1(pt )=a¢xt, а

 Следовательно,

F–1(Nt)»a¢xt +et/f(pt).

* Допущение равенства дисперсий – не слишком сильное. Если дисперсия ошибки e  принимает вместо 1 значение s2, то это равносильно умножению всех коэффициентов a  на s. Знак произведения a¢x при этом не изменится. Соответственно не изменится и соотношение между латентной переменной y* и наблюдаемой переменной y.

*Индекс 2 используется для обозначения двумерного нормального распределения с плотностью j2 и интегральной функцией Ф2. Во всех остальных случаях индекс 2 показывает, что данная переменная находится во втором уравнении модели (10.57). Как и раньше, j(.) и Ф(.) обозначают одномерные стандартные нормальные плотности и интегральные функции.

* хt =¢.

* См. раздел 10.5.

* См. сноску на с. 513.

* Доказательство:

Используя (10.142), выражение математического ожидания цензурированной переменной запишем в следующем виде:

M=P(y=b)´M+P(у>b)´M=

=P(у*£ b)´b+ P(у*>b)´M=F×b+(1–F)×(m+s×l).

Используя известную формулу  представления дисперсии случайной величины D=M+ D с учетом выражений (10.142)–(10.143), имеем

M=F×D+(1–F)×D=

=F×0+(1–F)×D= (1–F)×s2×(1–d);

D=F{b–M}2+(1–F)×{M–M}2=

=F{b–Fb–(1–F)×(m+s×l)}2+(1–F)×{(m+s×l)–Fb–(1–F)×(m+s×l)}2=

=F{(1–F)×(b–m–s×l)}2+(1–F)×{F(b–m–s×l)}2.

Сделав замену   b–m=s×b,приведем в этом выражении подобные составляющие. В результате получим:

D={F×(1–F)2+(1–F)×F2}×s2×(b–l)2=

                                  =F×(1–F)×s2×(b–l)2.

Из последнего выражения непосредственно следует, что дисперсия D может быть представлена в следующем виде:

D=s2×(1–F)×.

При b=0 выражение математического ожидания переменной y имеет следующий вид:

Если цензурирование проводится сверху, необходимо только заменить Ф на 1–Ф и переопределить l, как в выражении  10.144.

* Если распределения являются симметричными, как, например, нормальное и логистическое, то 1– F(a¢x)= F(–a¢x).

* При некоторых условиях регулярности последовательность случайных векторов a) сходится по распределению к нормально распределенному случайному вектору с нулевым средним и матрицей ковариаций H–1(a). Вследствие этого матрица H–1(a) называется асимптотической ковариационной матрицей оценки максимального правдоподобия а.

* См. Мански (Manski, 1975,1985, 1986) и Мански и Томпсон (Manski and Tompson, 1986)

* В модели (11.4) в общем случае значение независимой переменной  xi   не обязательно должно соответствовать моменту t.

* Попытки разработки прогнозов финансовых показателей на основе простейших типов моделей финансовой эконометрики предпринимались фактически с момента формирования финансовых рынков.

* Brooklings model: Perspective and Recent Developments/ Ed. G. Fromm, L. R. Klein, Chicago, 1975.

** Whitman M. Economics throw perspectives// Business economics, 1983, Jan., P. 20-24.