Достаточно широкое распространение при оценке параметров моделей получил и метод максимального правдоподобия, базирующийся на критерии (принципе), согласно которому оптимальные оценки параметров обеспечивают максимум так называемой “функции правдоподобия”. Эта функция может быть интерпретирована как условная плотность совместного распределения j(a|y, х) п+1-го неизвестного параметра модели a0, a1,... an при заданных исходных значениях зависимой переменной yt и независимых факторов хit, i=1,..., п; t=1,..., Т, с учетом того, что эти переменные взаимосвязаны между собой эконометрической моделью с функционалом f(a, x) в общем случае. Оптимальные оценки a0*, a1*,..., an* параметров этого функционала характеризуются в такой ситуации максимальной вероятностью, равной значению функционала правдоподобия в точке (п+1)-мерного пространства оценок с координатами a0*, a1*,..., an*. Такие оценки и называют оценками максимального правдоподобия.
При их нахождении обычно учитывается, что каждому набору значений оценок параметров соответствуют свои собственные ряды расчетных значений зависимой переменной 
и фактической ошибки модели еt, это позволяет сформировать функцию правдоподобия на основе плотности совместного распределения значений ошибки модели et в моменты t=1,2,..., Т, и оценки максимального правдоподобия находить, максимизируя эту функцию.
В целом, в основе ММП лежат следующие рассуждения.
1. Выбранная модель адекватна процессу изменения (распределению) зависимой переменной yt , в том смысле, что ее форма и состав факторов “правильно” выражают причинно-следственные связи, определяющие его закономерности. Таким образом, истинная ошибка et является ”абсолютно” случайной переменной. Ее закон распределения выражает закон распределения значений yt относительно расчетных значений, рассматриваемых при известных значениях параметров a0, a1,..., an, как выборочные математические ожидания M==a0+a1х1t+...+anхnt . Отклонение значения yt от его математического ожидания объясняется влиянием на этот процесс каких-либо случайных воздействий, которые невозможно учесть в рамках данной модели и т. п.
2. Закон распределения значений yt известен. Чаще всего выдвигается естественное предположение о его нормальном характере. Плотность условного совместного распределения значений yt при известных значениях независимых факторов хit определяется следующим выражением: j (yt хt )~ N (, 
), где – дисперсия значения yt , определяемая относительно его математического ожидания .
Для совокупности случайных величин yt, t=1, 2,..., T этот закон можно выразить путем задания их совместной плотности распределения, в общем случае имеющей следующий вид:
j (y1 ,..., yТ / Х )= N (M, Wy), (2.103)
где M – вектор математических ожиданий наблюдаемых значений y1,..., yТ, Wy – ковариационная матрица значений yt, определяемая следующим выражением:
Wy = 
где значения 
и 
следует интерпретировать как дисперсии и ковариации случайных переменных yt и yt и yt+j соответственно*.
В “классическом” варианте ММП в отношении зависимой переменной yt выдвигается предположение о независимости распределений значений yt, рассматриваемых в разные моменты времени t=1, 2,..., T, и о постоянстве их разновременных дисперсий относительно математических ожиданий .
В этом случае матрица Wy имеет следующий вид:
Wy = 
× Е = × 
где 
– постоянная дисперсия переменных y1,..., yT; Е – единичная матрица Т´Т.
3. Функция плотности закона распределения ошибки et эквивалентна функции плотности закона распределения переменной yt , т. е. j (et )=j (yt ), и в общем случае j(et )~N(0, We ).
Данное предположение вытекает из того факта, что производные ошибок по соответствующим значениям yt равны 1, т. е. 
, а производные ошибок по разновременным значениям yt–j равны нулю, j=1,2,..., т. е. 
. Это непосредственно устанавливается прямым дифференцированием 
выражения уt =a0+a1 х1t +...+an хnt +et в предположении, что ei и уj независимы при i¹j. Напомним, что плотность закона совместного распределения значений уt (условного распределения) взаимосвязана с плотностью закона совместного распределения ошибки et, t=1, 2,..., T следующим образом:
j (y / Х )=j (e)×½¶e/¶y½, (2.106)
где ½¶e/¶y½– якобиан перехода от переменной e к y, рассчитываемый как абсолютное значение следующего определителя:
¶e/¶y = 
В соответствии с тем, что 
, а 
, i¹j, получаем, что ¶e/¶y=1 и j(y
/Х )=j (e).
Из этого факта вытекает, что соответствующие плотности распределения ошибки e имеют следующий вид:
j (et )~N(0, 
); = ;
j (e1,..., eT ) = N (0, We), We= Wy, (2.107)
С учетом (2.107) условия независимости разновременных переменных уt и постоянства их дисперсий переходят в соответствующие условия для разновременных значений ошибки et и тогда вместо выражения (2.105) можно записать
Wy=We=se2×Е. (2.108)
Выражение (2.108) c учетом свойства M=0 определяет истинную ошибку модели et как процесс “белого шума”, т. е. как стационарный процесс с постоянным (нулевым) математическим ожиданием (M=уt–M=0), постоянной, независящей от времени дисперсией (=) и нулевыми ковариационными (корреляционными) связями между ее разновременными значениями et и et– 1, et и et–2 и т. д.
В основе метода максимального правдоподобия лежит исходное предположение о том, что “лучшим” оценкам a0*, a1*,..., an* “истинных” значений параметров эконометрической модели a0, a1,..., an должен соответствовать наиболее вероятный набор “фактических” значений ошибки е1*, е2*,..., еT*, рассматриваемых как “своего рода оценки” ее истинных значений e1, e2,..., eT и поэтому удовлетворяющих вышеприведенным предположениям.
Таким образом, максимум произведения р(е1)×р(е2)×...×р(еТ) соответствует наиболее вероятному сочетанию значений et, t=1, 2,..., T, обеспечиваемому “наилучшими” оценками параметров модели. При этом имеется в виду, что для произвольного набора значений фактической ошибки е1, е2,..., еT произведение вероятностей р(е1)×р(е2)×...×р(еТ ) в данном случае выражает вероятность совместного распределения их значений, соответствующих определенному набору оценок параметров a0, a1,..., an.
С учетом этого, решение задачи оценки параметров линейной эконометрической модели типа (1.2) может быть получено в результате максимизации целевой функции следующего вида:
по неизвестным параметрам a0 , a1 ,..., an и se2 при заданных массивах исходных данных, выражаемых вектором известных значений зависимой переменной уt и матрицей значений независимых факторов Х размера Т´(п+1).
y = 
Х = 
, (2.110)
в которой столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели a0.
Поможем написать любую работу на аналогичную тему