Обобщенный метод максимального правдоподобия

В обобщенном ММП предполагается, что ошибка модели подчиняется нормальному закону распределения с ковариационной матрицей W, определенной выражением либо (3.1), либо (3.4), т. е. j(e)~N(0, We). В этом случае плотность нормального закона распределения значений ошибки et, t=1,2,... Т; можно представить в следующем виде:

j(e)=½W e½×e¢Wy–1e].                (3.17)

Используя матрицу Se, выражение (3.17) можно записать и так

j (e )= (s1 s2... sT)½S e½ ×e¢Se–1e],        (3.18)

где в зависимости от предполагаемых свойств ошибки матрица Se определена либо выражением (3.1), либо (3.4). При этом и в том и в другом случае предполагается , что  s1 =s2=...=sТ.

Заметим, что при независимых ошибках e1, e2,..., eТ

j (e )=

что совпадает с функцией максимального правдоподобия, определенной выражением (2.109).

Логарифм выражения (3.18), являющийся логарифмом функции правдоподобия для взаимозависимых или гетероскедастичных ошибок e1,..., eТ  с учетом представления их вектора в виде  e=у–Х×a, записывается следующим образом:

l=– ln(2p) – ln½We½– (у–Х×a)¢We–1(у –Х×a)=

=–ln(2p) – lnse2 –ln½Se½–(у –Х×a)¢Se–1(у –Х×a). (3.19)

Дифференцируя  выражение (3.19) по вектору параметров a и дисперсии ошибки se2 и приравнивая нулю частные производные, получим

¶l/¶a=(Х¢×Se-1×у+Х¢×Se–1×Х×a)=0;

¶l/¶se2=(у –Х×a)¢×Se–1×(у –Х×a)=0.        (3.20)

Из выражения (3.20) непосредственно получим выражения для оценок параметров модели и ее дисперсии в  следующем виде:

a=(Х¢×Se–1×у)–1Х¢Se–1×у;

se2=(у –Х×a)¢× Se–1×(у –Х×a).              (3.21)

Заметим, что с учетом равенства We=s2Se  первое выражение из (3.21) можно записать в следующем виде:

a=(Х¢×We–1×у)–1Х¢We–1×у.                         (3.22)

Из сопоставления выражений (3.16) и (3.21), (3.14) и (3.22) непосредственно вытекает, что при “нормально” распределенных ошибках эконометрической модели при утрате их свойств независимости и гомоскедастичности обобщенные МНК и ММП определяют оценки коэффициентов этой модели по одним и тем же выражениям. При этом, как и в разделе 2.5, можно показать, что оценки ОММП обладают свойствами асимптотической несмещенности, состоятельности и эффективности.

Основные проблемы, связанные с применением обобщенного МНК для оценки коэффициентов эконометрической модели, состоят в том, что априорно матрицы  W и S являются неизвестными, поскольку определить  численные значения их элементов можно только после того, как получены оценки коэффициентов модели a0, a1,... an. Разрешить это противоречие можно на основе ряда подходов, которые будут рассмотрены в последующих параграфах данной главы.