Эконометрические модели с гетероскедастичными ошибками

Причиной непостоянства дисперсии (гетероскедастичность ошибки) эконометрической модели часто является ее зависимость от масштаба рассматриваемых явлений. В эконометрическую модель ошибка входит как аддитивная переменная (слагаемое). В то же время часто она имеет относительный характер и определяется по отношению к измеренному уровню рассматриваемых факторов. Вследствие этого, если на интервале (1,Т) переменная у, увеличивается в 5 и более раз, то можно ожидать, что даже при правильно выбранной форме зависимости этой переменной от объясняющих факторов ошибка модели увеличится примерно во столько же раз.

Гипотеза о гетероскедастичности ошибки модели обычно проверяется с использованием теста, рассмотренного в разделе 2.2.1. В случае ее подтверждения для оценки коэффициентов эконометрической модели может быть применена процедура последовательных этапов расчетов как и в случае автокорреляции между ошибками модели. Для этого на первом этапе по результатам применения обыкновенного МНК должны сформированы оценки s12, s22,..., sТ2 матрицы Cov(е) (выражение 3.4). Сделать это на основе значений фактической ошибки e1, e2, ..., eТ  для каждой точки t=1,2,..., T невозможно, вследствие чего в данном случае приходится привлекать на помощь некоторые дополнительные гипотезы относительно характера изменения дисперсии ошибки, например, гипотезу о линейном законе ее изменения.

При таком предположении оценки дисперсий s12,..., sT2 могут быть определены следующим образом. Для двух непересекающихся интервалов (1, Т1) и (Т2, Т) по значениям рядов фактической ошибки  и могут быть получены оценки дисперсий sk2 и sm2,  которые соотносятся к моментам t=k и t=m, являющимся серединами этих рядов. Далее на основе этих двух значений строится линейная зависимость s2(t), аппроксимирующая изменение дисперсии на интервале (1, Т), каждое из значений которой st2 будет представлять собой оценку соответствующего элемента диагональной матрицы W (выражение (3.4)). Эта матрица затем должна использоваться на втором этапе вычислений оценок коэффициентов следующего варианта эконометрической модели с помощью обобщенного МНК.

Справедливость выдвинутой гипотезы о гетероскедастичности ошибки подтверждается (или отвергается) сопоставлением дисперсий сумм оценок коэффициентов модели, рассчитанных для оценок обычного и обобщенного МНК. Эти суммы определяются на основе элементов соответствующих ковариационных матриц оценок, определенных согласно выражениям (2.27) и (3.15) соответственно.

Подобная процедура может быть реализована для любых приемлемых (правдоподобных) вариантов закономерностей изменения дисперсий ошибок, например, для квадратичной, логарифмической и т. п. зависимостей. Необходимо отметить, что для каждого из этих вариантов интервал (1, Т) должен быть разделен на  такое число участков, которое обеспечивает определение количества оценок дисперсий на них, достаточного для построения соответствующей зависимости.

Явление гетероскедастичности ошибки также может быть вызвано ошибками спецификации модели. Например, если линейная эконометрическая модель была выбрана вместо модели следующего вида:

то дисперсия ошибки линейной модели в момент t оказывается пропорциональной квадрату переменной xit, т. е.

где s2 – некоторая неизвестная константа.

Если равенство (3.39) справедливо, то очевидно, что ковариационная матрица ошибки Cov(e) определяется следующим выражением:

        W =  .                              (3.40)

Из сопоставления выражений (3.4) и (3.40) вытекает, что

                                    lt =1/xit2 .                                       (3.41)

Тогда матрица  p–1, обеспечивающая равенство p-1¢p–1=S–1 (см выражение (3.9)), имеет следующий вид:

p–1=     .                             (3.42)

Таким образом, с помощью операции умножения слева на матрицу p–1

                   p–1у=p–1Хa+p–1e                                 (3.43)

исходная линейная модель и преобразуется к виду (3.38).

Из выражений (3.38)–(3.43) вытекает, что при справедливости условия (3.39) для описания процесса уt можно использовать: а) либо эконометрическую модель линейного вида и оценку ее коэффициентов производить с помощью обобщенного МНК; б) либо эконометрическую модель, определенную выражением (3.38), и оценки ее коэффициентов получать с помощью обыкновенного МНК.

Как частный случай моделей (3.38) можно рассматривать, так называемые, взвешенные эконометрические модели, хотя причины появления “весовых параметров” в них обусловлены другими соображениями.

Взвешивание исходных данных эконометрической модели     (т. е. элементов вектора у и матрицы Х) часто осуществляется с целью дифференциации влияния информации, относящейся к разным периодам времени, на получаемые с помощью МНК значения ее коэффициентов.

Очевидно, что при принятии решений в условиях быстро развивающихся социально-экономических явлений информация более поздних временных периодов является более важной, существенной, чем информация ранних периодов. Этот факт целесообразно учитывать и в разработках моделей развития таких явлений с целью более объективного отображения изменений во взаимосвязях между рассматриваемыми в них переменными, происходящими со временем. В экономике такие изменения обусловлены, например, технологическими сдвигами, изменениями цен на ресурсы, в покупательной способности населения, в потребительских предпочтениях, внешними событиями (войнами, природными катаклизмами и т. п.), изменениями в законодательстве и рядом других объективных и субъективных причин.

Вместе с тем, зачастую даже по чисто вычислительным причинам без устаревшей информации порой бывает затруднительно построить эконометрическую модель (например, из-за недостатка объема исходных данных). Кроме того, новые взаимосвязи обычно образуются на фоне старых, они являются закономерным итогом эволюции отношений в социально-экономической, технической и других сферах общественной жизни. Вследствие этого информация более ранних периодов также может представлять определенную ценность с точки зрения адекватного отображения рассматриваемых явлений и процессов.

Эти причины в совокупности выдвигают проблему сопоставительного представления в эконометрической модели разновременной информации, которая обычно решается взвешиванием исходных данных, относящихся к различным моментам периода  (1, Т). Весовые коэффициенты в таком случае выражают степень важности, ценности разновременной исходной информации, полноты ее учета при формировании модели.

Взвешенная эконометрическая модель для момента времени  t=1,2,..., T выражена в виде следующего уравнения:

       уt рt =a0 рt+a1 рt x1t+...+an рt xnt+xt,                   (3.44)

где рt – весовой коэффициент, учитывающий степень полноты исходной информации момента t, необходимой при построении эконометрической модели, описывающей рассматриваемые процессы в интервале (1, Т), xt – ошибка модели.

С учетом (3.44) сумма квадратов ошибки модели определяется следующим выражением:

где qt=рt2 – весовой коэффициент, отражающий важность значения ошибки невзвешенной модели в момент t при определении ее коэффициентов; et=уt–a0–a1x1t–...–anxnt  – истинная ошибка невзвешенной модели.

Применяя известную процедуру метода наименьших квадратов для оценки коэффициентов модели, записанной в матричной форме

Qy=QXa+x,                                    (3.46)

получим следующее выражение вектора оценок коэффициентов этой модели:

                                                     X¢Qy=X¢QXa;

a=(X¢QX )–1X¢Q y,                                 (3.47)

где Q  – диагональная матрица, образованная весовыми коэффициентами qt:

        Q =    .                            (3.48)           

Отождествляя матрицу Q с матрицей W–1 (см. (3.4) и (3.40)), получим, что выражение (3.47) абсолютно идентично выражению (3.14), определяющему оценки коэффициентов эконометрической модели на основе обобщенного МНК.

Из выражения (3.48) вытекает, что веса qt являются функцией времени, характеризующей “память” модели. Интуитивно понятно, что при более быстрых изменениях условий развития процессов уt, xit, i=1,2,... , n, значения qt, относящиеся к началу интервала  (1, Т), должны быть значительно меньше, чем значения, относящиеся к его концу. Иными словами qt,  как функция времени в этом случае должна затухать быстрее при движении времени в прошлое.

Выбор функции qt  в практических исследованиях обычно осуществляется на основе субъективных суждений относительно ценности исходной информации, относящейся к разным моментам времени. Обычно значения этой функции нормируют таким образом, чтобы в сумме они составляли единицу, т. е.

В таком случае в качестве весовой функции удобно использовать члены убывающей в прошлое геометрической прогрессии. Например,

                                  qt = q0T– t+1,                                           (3.50)

 qt=g(1–g )T–t,

где константы  q0 и g  выбираются из условий 0<q0, g<1 и нормировки (3.49).